數學是上帝的語言？

伍煒國

有時， 我們收到一些電子郵件，說數學怎麼優美對稱。數學的確十分優美對稱。帕斯卡三角（Pascal's Triangle）就是一例（圖一）（在中國，我們稱它為「楊輝三角」）（註一、二）。

說到代數，學生就會聯想到二項式定理，把（a+b）自乘為平方， 立方，四次方等的系數（圖二）。

因為數學是那麼優美對稱，歷來就引發了不少話題，如：是不是在大自然裡，早蘊藏著這許多數學公式，只等待人們發掘，抑或都是由人自己想出來的產品？（註三）

過去， 有好幾位偉大的數學家， 如笛卡兒（Descartes）、萊布尼茨（Leibnitz），以及被譽為二十世紀最偉大數理邏輯學家的高德爾（Gödel）等，都曾用數學或邏輯證明有上帝。帕斯卡（Pascal）、歐拉（Euler）和牛頓（Newton）等人都是出類拔萃的基督徒數學家。帕斯卡的外衣襯裡還經常繫著以下禱文：「完全順服引領我的主耶穌基督，並存永恆喜樂的心度過地上的每一天，但願我不忘記袮的話。阿們。」（註四）

數學的角色

我們的日常生活，如算帳、購物、規劃時間、聽天氣預報等，都離不開數學。雖然，對於較為抽象的代數、幾何、微積分，感興趣的人不多，讀抽象純數學的人更少。數學家們對於數學的角色粗分為兩派：

一、數學是工具，供人研究大自然，並應用在工程、建設等事業上。牛頓是這一派的代表人物。他是物理學家，研究大自然時發覺工具不足，便發明了微積分。與他同時代的萊布尼茨也發現了微積分，不過是在研究純數學時發現的。伽利略（Galileo）對數學角色的看法是，數學是上帝用來闡釋祂所創造的世界的語言。伽利略鼓勵人們研讀數學，認為這樣可以更認識上帝。笛卡兒也是這麼看法。

二、英國數學家哈迪（Hardy）和羅素（Russell）有不同看法，認為數學是終極產品，不是工具。人們研究數學，是因為它的美麗和邏輯結構。譬如音樂，當貝多芬寫第七交響樂時，不是為了要給近代電影配樂和營造氣氛。羅素等人認為，數學之能用作工具，是意外的收穫。

柏拉圖（Plato）早在哲學角度上已融合上述兩種看法，提出「數學完美的現實」（reality of mathematical perfection），可算是第三種看法。他說，數學不是物質，也不純粹是思想。不管數學程式是先存在大自然中，抑或是人自己構思出來的產品，都不過是影子。數學所反映的，是它背後的完美。柏拉圖的看法和有神論接軌。信上帝的人都不難明白，大自然井然有序，反映完美的上帝。近代數學家如高德爾和彭羅斯（Penrose）等，都同意他的看法。

數學家論證有上帝

歷史上幾位舉足輕重的數學家都曾運用數學或邏輯證明有上帝。牛頓認為不須求諸繁複的證明，單問一句「宇宙的美麗和秩序從何而來」就已足夠（註五）。萊布尼茨則提出兩大證據：

一、宇宙的第一因。這概念源自阿里斯多德，經阿奎那（Aquinas）發展，再由萊布尼茨將論證帶到更嚴謹的邏輯推理。內容大致是：世上萬事萬物都有因果，決不能無中生有。這樣一直推上去，就有第一因，就是上帝。萊氏的邏輯推理和牛頓很接近。

當然，無神論者如羅素等，會將之一筆抹煞。羅素曾說：「每個人都有母親，但並不證明人類有一個母親。」

不過，要是我們問羅素，那麼人是怎麼來的呢？他必回答：「是自然而有，碰巧進化而來。」問題卻是：碰巧能產生這許多精密的秩序嗎？無神論者回答不了牛頓的問題。

二、萊布尼茨的第二個論證法是本體論（Ontology）。首先提出本體論的，是十一世紀神學家安瑟倫（Anselm）。他指在人的思維中，有最崇高本體的意識，這意識從哪裡來呢？借用牛頓的說法是：「真善美從何而來？」

當然，無神論者的反駁是：「人自己先有了真善美的思想，然後推理說有上帝。」問題卻是：人怎麼有真善美的思想呢？難道也是從單細胞進化而來的嗎？進化論者都相信有這樣的事嗎？能用數學邏輯證明嗎？能用實驗和觀察證明嗎？

近代大數學家高德爾也像萊布尼茨一樣，曾用嚴格的邏輯推理解說有上帝。這就是有名的〈高德爾本體論〉（Gödel's Ontological Proof）。史丹福大學的哲學百科叢書中有簡潔的說明（ 註六）。高德爾是虔誠基督徒，常跟人談上帝、人生、永生等問題。他是愛因斯坦的同事和好友，又是首屆「愛因斯坦獎」的得主（註七）。笛卡兒和萊布尼茨都曾用本體論，配上嚴格的邏輯推理，說明有上帝。高德爾則是第一個將現代數學邏輯應用於形而上學推理的數學家。

當然，羅素絕對不會接受這些理論，但是羅素也不能證明沒有上帝。誠如康德（Kant）的一句名言：「要證明有上帝很難，要證明無上帝更難。」（註八）

華裔邏輯學家王浩曾受教於高德爾門下，他回憶高德爾曾叫他考慮三個哲學問題：自由意志、上帝、永恆歸宿。王浩是懷疑論者，他說對這幾個問題全不感興趣（註九）。讓我想起主耶穌的話：「尋找，就尋見。」（路加福音十一9）可惜，很多人連找也不找，就否定有上帝。

上帝是數學家嗎？

在聖奧古斯丁的時代，有所謂術數命理學家，利用數字預測未來。聖奧古斯丁提醒基督徒們，須提防這些玩術數的人。近來也有人用聖經的一些數字計算主耶穌甚麼時候再降臨，這種情況其實古已有之；但誠如聖奧古斯丁所說的，要防備這些人，不要輕易信他們的數字遊戲（註十）。

到了牛頓時代，有好幾位偉大的數學家嘗試從自然界的美麗設計來了解上帝的創造。牛頓是其中的佼佼者。他和愛因斯坦被尊崇為歷史上最偉大的物理學家，又是傑出的數學家，他篤信上帝創造天地，對創世記第一章並無疑問。牛頓曾說：「如果說我比別人高瞻遠矚，那是因為我站在巨人的肩膀上。」當中兩位「巨人」就是伽利略和開普勒（Kepler），二人都信上帝創造天地。伽利略說：「上帝是數學家，所以我們在大自然裡，看到眾多數學程式。」開普勒說：「有形的世界是按數學原理受造的。上帝用幾何程式來創造世界。祂按自己的形像造人，把數學的原理也賜給人。這些都不是憑眼見產生的。」（註十一、十二、十三）

偉大的數學家，如笛卡兒、萊布尼茨、歐拉、高斯（Gauss）、黎曼（Riemann）、帕斯卡（Pascal）等都信上帝。帕斯卡還幽默地說：「如果基督徒死去，發覺沒有上帝，他沒有損失；但要是有上帝，他就賺了天堂。相反地，一個不信上帝的人卻要下地獄，失去一切。」（註十四）

成見和偏見

進入二十世紀以後，隨著科學發達，人們誤信科學萬能，由此產生科學主義。在哲學和邏輯學上羅素就是以反基督著名。有一次，一個朋友問他，假如有一天他看到上帝，會說甚麼？羅素說：「我會揮拳問上帝：『為甚麼不給我足夠的資訊讓我信？』」（註十五）真的好似天體物理學家李維奧（Livio）所說的：「有神論者覺得，上帝的存在已有充分證明；而無神論者對所有證據都不滿意。」（註十六）

哈迪也不信上帝，有一次，他寄明信片給朋友，上面列出了他的新年願望，其中兩個大願望是：1.能證實黎曼（Riemann hypothesis）的假設；2.為上帝的不存在找到一個說法。他的兩個願望都無法實現（註十七）。（按：黎曼是十九世紀基督徒數學家，發現黎曼幾何，後來成為愛因斯坦時空幾何的基礎。）

牛津大學教授，著名作家魯益師（Lewis）閱讀多個偉人生平後，有以下總結：「一般來說，數學家、天文學家和物理學家，較有宗教情操，甚至有的接近神秘主義。生物學家較少宗教情操。經濟學家和心理學家極少信宗教，因為他們所研究的對象是人， 對宗教有較深的偏見。」（ 註十八）看來， 這就是人類傲慢的關鍵所在。

上帝的足跡

埃爾德甚（Erdös）是著名的數論學家，他認為在數學中看到上帝的足跡，等於看到上帝。他說：「上帝有一本超越限制的書，書中有一切定理和最好的證明。你不須要相信有上帝，單信這本書（的證據）就行了。」註十九）這可算為數學柏拉圖主義對泛神論觀點的解釋。

就在二十世紀之交，IBM數學家C. A. Pickover做了一個調查。他列出影響人類最深遠的前十條數學公式，僅列出以下四個：（註二十）

E=mc²（愛因斯坦有關能量物質的方程式）
C=2πr, and A=πr²（圓周和面積公式）
F=ma（牛頓第二運動定律，關於力和物體的加速）
F=Gm₁m₂／r²（牛頓的萬有引力定律）

令人驚訝的是，上述公式都和大自然設計有關。換句話說，都是從自然界中發掘出來的數學模式。正如伽利略和牛頓所言，數學是上帝用來闡釋大自然的語言。天文和天體物理學都離不開數學。

劍橋著名教授琴斯（Jeans）是二十世紀第一研究天體物理學的人。有趣的是，他終身研究天體的結構後，支持伽利略的看法，說：「看到上帝創造中包含證據後，宇宙的偉大建築師看來是一個純數學家。」（註廿一）

數學物理學家戴維斯（Davies）指出，只要萬有引力的常數稍微有一小點變化，太陽系就不可能發展到目前的形式，人類也就不會存在。戴氏指出，這些所謂的「巧合數字」，是極強而有力的證據，證明大自然是經匠心設計的（註廿二）。三百年前，人類還不能上太空觀察，牛頓就早已看到這點。

可惜得很，證據雖然是那麼確鑿，仍有不少學者否認大自然中有智慧設計者的存在。他們寧可相信碰巧進化。發現DNA雙螺旋結構模式聞名的克理克（Crick）就是這樣的一個人。當他無法證明碰巧進化，他就說，可能幾十億年前，有外星人曾來過地球。一個曾獲諾貝爾獎的科學家，如果堅拒相信上帝，就是看到自然界中有設計者的證據，他寧可相信外星人，也不願信靠上帝。（註廿三）

愛因斯坦曾自喻像一個孩子，來到一個宏偉的圖書館，對裡面豐富的資料和井井有條的組織甚為驚嘆。（註廿四）李政道說，人類只理解宇宙的百分之五。（註廿五）關鍵其實就是人類需要謙卑，承認自己有限。聖經告訴我們，當人們心高氣傲要建通天的巴別塔時，結果就是混亂。

註：
1. Encyclopedia Britannica, on “Mathematics”, Pascal Triangle.
2. 「楊輝三角形」, 百度百科: http://baike.baidu.com/
3. Livio, M. “Is God a Mathematician?” Simon & Schuster, New York, NY (2009).
4. Pickover, C.A, “A Passion for Mathematics,” John Wiley and Sons, NY. (2005), see index on Pascal.
5. Davies, P. “God and the New Physics”, Simon and Schuster, New York, NY. (1983) Note: in Newton’s days, they used the word “world” to signify universe, because their perception of the universe was much smaller than our knowledge three centuries later.
6. Oppy, Graham, “Ontological Arguments”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = http://plato.stanford.edu/archives/fall2011/entries/ontological-arguments/. Section 6
7. Goldstein, Rebecca. Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel, W. W. Norton & Company, New York. (2005)
8. Byrne, P., 1998, The Moral Interpretation of Religion, Edinburgh, Edinburgh University Press. Also “Kant on God” by same author.
9. Wang, H. “Reflections on Kurt Gödel”, Section 7.2, MIT Press, Cambridge, MA (1987)
10. St. Augustine, De Genest Ad Litteran, Book II, quoted in Pickover, Ref. 4, P. 28.
11. Gale E. Christianson, “ In the Presence of the Creator”, The Free Press, New York, (1984)
12. Chapter on Galileo, Ref. 3
13. Kepler, J. “The Harmony of the World”, 1619, quoted in Ref. 4, P. 17
14. Hájek, Alan, “Pascal's Wager”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2011 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = http://plato.stanford.edu/archives/sum2011/entries/pascal-wager/.
15. Russell, B. The Collected Papers of Bertrand Russell, Volume 11: Last Philosophical Testament, 1943-68, ed. John G Slater and Peter Köllner (London: Routledge, 1997) quoted in “Evidence for Design”, presentation by Dr. Gary Ott in DVD series by Goodnews Communications International, Inc. Hong Kong.
16. See Ref. 3, index on Atheist.
17. Hardy, G. H. “A Mathematician's Apology”. Cambridge: University Press. (1940, reprinted in 2004).
18. See Ref. 4, index on C. S. Lewis
19. Schechter, B. “My Brain is Open: The Mathematical Journeys of Paul Erdös”, Simon & Schuster, New York, NY (2000).
20. Pickover, C.A. “Wonders of Numbers”, Oxford University Press, New York, NY (2001), chapter on “Top 10 Formulae”.
21. See Ref. 4, index on James Jeans.
22. See Ref. 5, Chapter 12.
23. Ross, H. “Creator and the Cosmos”, NavPress, Colorado Springs, CO (1993), see index on Francis Crick.
24. 愛因斯坦談到神的心思Newsweek, 2007 April issue, http://newsweek.washingtonpost.com/onfaith/guestvoices/2007/04/einstein_and_the_mind_of_god.html, Wash Post & Newsweek, 2007-April issue
25. Lee, T.D. Interview by Nobel Foundation at the Golden Anniversary of his Award, http://nobelprize.org/mediaplayer/index.php?id=986