數學與真理

胡蔭亭

我父親胡恩德在香港大學入學試的成績，是當時全香港的前五名內；然而就在那時患了肺病，所以沒有進大學。但他看很多書，天文地理無所不識。我們兄弟姊妹從小與他逛街，他沿途就會告訴我們這是甚麼樹，那是甚麼鳥……，增進我們不少知識。我自己對文理科都有興趣，中學時每年得到很多獎，畢業後是數學家。

美麗的數學

現在有不少人說數學怎樣怎樣美麗，他們做出不少方程式。數學確實有很多非常美麗的定理；但我覺得不應從拼湊和數字排列方面，而是必須從真正的數學來著眼。我的意思是，結果應該是出人意外、神奇的，不須人手堆砌而成的。這樣的情況在算術和初級代數裡面差不多看不到，但是在初級幾何裡卻比比皆是。譬如任何一個三角形ABC（圖一）：

圖一

D、E、F是在三角形三條邊上任意三點。那麼在一般情況下，AD、BE、CF三條線段不會在同一點上相交的；但是如果D、E、F都是三條邊的中點，那AD、BE、CF就會有共同交點了。

另外，如果AD、BE、CF與三角形的三條邊垂直，AD、BE、CF三線也會有共同交點。

此外，如果AD、BE、CF是三個角的分角線，AD、BE、CF也會有共同交點。

這是非常出人意料的結果，讓人看到當中有公理和規律。

數字的結果當然也有美麗的。瑞士大數學家歐勒（Euler, 1707-1783）發現了很多不可思議的數學定理，如圖二的定理是我佩服得五體投地的一條。

圖二

這是很難證明的，非要用到傅里葉級數或是複函數這樣的高等數學。如果有人問我甚麼是美麗的數學，這就是我提供的例子。

歐勒是信仰純正的基督徒，相信聖經都是上帝所默示的。以下是他的話（註）：

「使徒與早期基督徒異口同聲宣告基督從死裡復活；他們見過祂，並與祂說話。如果一個人（心中）有一點亮光，也略為思想過他所信的道理，考慮到這些道理有人證明是前後一致的，他就不可能認為使徒與早期基督徒不真信基督復活，只是騙人而已。要是說使徒有精神病，（同時）幻覺中看到基督復活，那就更加不可能。」

歐勒那個時代，很多大數學家都是基督徒。最著名的是伯努利一家（Bernoullis）。他們本是法國人，因受當時天主教的逼害，逃到瑞士，在那裡生根。最先做數學家的是雅各伯努利（Jakob Bernoulli, 1654-1705）。他是在牛頓、萊布尼茲發明微積分後，開發數學分析這個新領域的先鋒。他研究時發現對數螺線有很多奇妙的性質。

把這條曲線變換後，往往出來的還是對數螺線。例如把螺線從中心一直放大（圖三），螺線的樣子並不改變，而只是好像在圍繞中心而旋轉。縮小也是一樣。還有，對數螺線的漸屈線、漸伸線、垂足曲線都是對數螺線。所以雅各伯努利要人在他墓碑上面刻一條對數螺線，用拉丁文寫著Eadem mutataresurgo，意思是：「復活後我雖然改變了，但我仍然是我。」很可惜，刻墓碑的人不懂數學，結果刻錯成了一條阿基米德螺線（圖四）。

圖三

圖四

數學須要求證

數學有一個非常重要的作用，就是思想訓練，每一件事都要提供證明。這對於思想訓練非常要緊。有些人相信星座之類的東西，但好的數學家要問的是：你怎麼證明這些是可信呢？

數學不只是計算和數字運算而已，這只是數學的一部分。數學還有很多別的東西，例如：幾何、數學分析、拓撲學等。數學最基本的一樣東西，是你要證明你的結果；所以數學就是要證明，那就要看你怎麼證明，例如幾何定理。當然，數字也須證明，不過，小學算術還沒到須證明的程度。到了中學，做普通幾何、三角、大代數、解釋幾何等，都一定要證明。可見加減乘除不是數學最重要的東西。

很多學生不喜歡或是害怕數學的原因，大多數是因為以前的老師教得不好，基礎沒有打好。我的建議是，參考一些趣味數學之類的書刊，提高自己的興趣；不過最重要的還是打好基礎。首先是回想自己究竟是哪一個階段出了問題，然後回到那個階段，認真做習題，再沒有其他方法，必須做習題，從最容易的開始。數學是從基礎上一層一層地建築上去的，如果算術不好，就不能學到代數。代數不好，就不能做解析幾何。

信心對數學也異常重要。有信心，很難的數字題也會做得出。我在中學時覺得幾何很討厭、很難，因為沒有系統的解題方法，有的題目我想了很久，仍找不到答案。後來我自學微積分，雖然微積分與幾何沒甚麼關係；但因為我學會了，有信心了，而且數學生命成熟了，結果回頭看幾何習題的時候，發現一眼就可以看出證明的方法。所以大家不要氣餒，更不要害怕數學。花點時間，重新打好基礎，在哪裡跌倒，就在那裡站起來。數學非常重要，不要做數盲。

有些事無法證明

數學本身是研究抽象的東西，最重要的是不能說空話，要講證明。由於數學常要證明，當我們要證明一些東西時，就知道一定有些公理在其中。

但是，公理是不可以證明的。誠實的數學家必明白，當我們證明一些東西時，是要根據一些不能證證明的東西，這就是「信」（Faith）；換言之，一定要相信（Faith）某些東西，才知道有些東西不可以證明。這些不可以證明的東西，可從日常最普遍的自然事物中觀察出來，例如：兩點之間只可以有一條直線通過，不可能有兩條直線通過。

以上所言，好像很明顯是從自然來的，這與我們相信聖經真理是不同的。相信聖經真理，是相信有創造天地萬物的獨一主宰，相信耶穌基督是我們的救主。這個「信」（Faith）是有生命在其中的；而數學只不過是我們頭腦的東西，是沒有生命的。聖經說：「凡接待祂的，就是信祂名的人，祂就賜他們權柄，作上帝的兒女。」（約翰福音一12）這個「信」與學術方面的「信」不同，不可以相提並論，根本是兩回事。

我自己信耶穌是很自然的事，完全沒有掙扎。從小已知道耶穌為我死，我是罪人，需要耶穌基督拯救。一直以來都是這樣相信，從來沒有為此掙扎。即使我是讀數學的，熟習邏輯推理，也沒有因此而懷疑所信之道。由於父親老早已替我們打好信仰的根基；所以我從小就知道科學不等於真理。

科學不等於真理

科學裡面有很多假設。很多人以為科學就等於真理，其實不然。如我在上面說過，邏輯推理必須基於一些不能證明的公理。科學也是這樣，必須基於某些假設。譬如：宇宙是有理性的，我們可以用理性去明白宇宙的事物。為何如此？這是沒有理由的。如果推翻了這個假設的話，我們就根本甚麼都不能理解。

另一個假設是，從古到今，在這無窮大的宇宙裡面，科學的定律都是到處不變、永遠相同的，一萬萬年前如此，到今日也是如此；在地球是如此，在幾百萬光年以外也是如此。這件事，你如何知道是真的呢？我們不知道幾百萬光年外的星球是怎樣的，也不知道幾億年後的地球是怎樣的。如果沒有這個假設，我們所知的只不過是我們現在周圍的東西，不能推而放諸四海而皆準地說：「甚麼時候這定律都是對的。」我們信上帝的人相信，上帝把宇宙造得有理性，有種種恆久的定律；但是因為定律是上帝創造的，祂也可以行神蹟打破這些定律。我們從小就聽家父的教誨，所以當科學與聖經衝突時，我們仍堅信聖經是對的。（這裡有一點很重要：不要誤解聖經說的話，以致以為在某些方面科學與聖經抵觸。）譬如宇宙有多老？現在科學家說是有幾百億年。那是不是與上帝七日創造天地有衝突呢？其實，上帝創造這世界時，不一定說這世界等於現在的零歲；祂可能造這宇宙時，已經是一個好像有幾億年歷史的宇宙一樣。正如上帝造亞當，不是造一個嬰兒，是造一個成年人，使他管理看守伊甸園。那麼，上帝創造宇宙同樣可以造一個成年的宇宙，而不是造一個零歲的宇宙。如此看來，這些事情根本與聖經沒有甚麼衝突；只不過人們不相信有創造主，所以產生進化論之類的理論。

最要緊是認識上帝

最重要的一樣事情，就是生命的問題。即使講很多理論也是沒用的。你怎知道這些理論能改變你的生命呢？最重要的是有聖靈的光照和引導，使你從心裡面真知道祂。我父親講道很喜歡講以弗所書一章17節的一句話：「使你們真知道祂。」就是在心裡能看得見上帝，與祂有直接的關係。當你有了上帝的生命，知道你與上帝有關係時，其他事情就不那麼重要了。你既然認識了真神，相信祂真正在你身邊的時候，縱使別人成天對你講無神論，也不會對你構成影響。所以最要緊的事情，就是你的信仰和你的生命、你與上帝有關係、你的生命是否因為你對真神的信仰而有所不同。深願讀者們好好思想這個問題。

（余黃國凱採訪）

註：The apostles and many early Christians unanimously claimed that Christ not only had risen from the dead, but that they themselves had seen him and that they had even spoken with him. That they did not truly believe this themselves and that beneath it there was hidden deceit on their part cannot be asserted by any man with the least light who would weigh their doctrine with some attention and take into consideration their attested consistency. That the apostles should have falsely imagined this through an insane understanding can even less be affirmed in any likelihood. Or else one would have to assert that God has miraculously blinded all these men and this only to spread a false doctrine.